Igual ya que estás acá aprovechamos este ejercicio para ver los pasos que tendríamos que seguir cuando queremos derivar algo que depende de $x$ elevado a algo que también depende de $x$:

Queremos derivar $x^{x}$

 

1. Tomamos logaritmo natural de ambos lados:

$\ln(f(x)) = \ln(x^x)$ 2. Aplicamos una de las propiedades del logaritmo a la derecha:

$\ln(f(x)) = x \ln(x)$ Ahora derivamos a ambos lados respecto de $x$ (use regla de la cadena para derivar lo de la izquierda y regla del producto para derivar lo de la derecha!) $\frac{1}{f(x)} f'(x) = \ln(x) + x \cdot \frac{1}{x}$ Reacomodando: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \ln(x) + 1$ Finalmente, despejamos \( f'(x) \): $f'(x) = f(x) \cdot (\ln(x) + 1)$ Recordando que \( f(x) = x^x \), sustituimos: $f'(x) = x^x \cdot (\ln(x) + 1)$ Por lo tanto, la derivada de la función \( f(x) = x^x \) es: $f'(x) = x^x \cdot (\ln(x) + 1)$